Analyse und Synthese nichtlinearer Regelungen mittels Sum-of-Squares-Programmierung

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Gegenstand dieser Arbeit ist die Analyse und Synthese nichtlinearer Regelungen mit Hilfe der Sum-of-Squares-Programmierung (kurz: SOS-Programmierung). Die Letztere erlaubt einen Optimierungsansatz, der eine Lyapunov-Funktion und beim Reglerentwurf auch ein nichtlineares Stellgesetz unter der Maxime einer möglichst großen Abschätzung des Einzugsbereichs einer asymptotisch stabilen Ruhelage systematisch ermittelt. Ein Problem bei den bisherigen Ansätzen mit dieser Methodik war, dass lediglich Systembeschreibungen gestattet waren, deren nichtlineare Ausdrücke aus polynomialen Funktionen bestehen. In der vorliegenden Arbeit wird die Anwendbarkeit der SOS- Programmierung auf die allgemeinere nichtlineare Systemklasse erweitert, deren Zustandsraumdarstellung mit Hilfe von Funktionen mit hinreichender Differenzierbarkeit angegeben werden kann. Dies wird über eine polynomiale Approximation der nichtpolynomialen Systembeschreibung erreicht. Durch die Einführung eines Approximationsfehlers und die geschickte Integration einer Zusatzbedingung im Rahmen der SOS- Programmierung ist sichergestellt, dass die auf Basis der polynomialen Näherung bestimmte Abschätzung des Einzugsbereichs auch für das Originalsystem gültig bleibt. Um praxisnahen Randbedingungen gerecht zu werden, wird die Berücksichtung von Stellsignal- und Zustandsbeschränkungen, die jedes reale System aufweist, mit in die Analyse- und Syntheseverfahren integriert. Damit bietet sich der Vorteil, dass eine aufwändige simulative Untersuchung zur Einhaltung der Begrenzungen entfallen kann. Des Weiteren wird im Hinblick auf eine praktische Umsetzung der Regelung der Entwurf von Ausgangsrückführungen näher betrachtet. Um die Erhöhung der Systemordnung durch einen Beobachter zu vermeiden, welche die Berechnung einer gültigen Lyapunov- Funktion für das Gesamtsystem erheblich erschwert, wird die direkte Bestimmung einer statischen bzw. dynamischen Ausgangsrückführung mit Hilfe der SOS-Programmierung vorgeschlagen. Durch die Wahl einer freien Struktur verbleiben der Optimierung auf diese Weise mehr Freiheitsgrade als bei beobachterbasierten Ansätzen. Begleitend zu der Einführung der Analyse- und Syntheseansätze wird ein akademisches Beispiel zur Verdeutlichung der Methodik eingesetzt. Abschließend erfolgt der Reglerentwurf für das aus der Literatur bekannte Modell eines Rührkesselreaktors. Darüber hinaus wird zur Demonstration der praktischen Umsetzbarkeit der präsentierten Verfahren eine dynamische Ausgangsrückführung für das Laborexperiment Inverses Pendel vorgestellt.