Beobachterstrukturen für Deskriptorsysteme

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In der Regelungstechnik wird das Erstellen mathematischer Modelle immer aufwendiger, wenn es sich dabei um die mathematische Beschreibung der Dynamik von Systemen handelt Um aber dennoch Modelle von sehr komplizierten und großen Systemen aufstellen zu können, wurde versucht, ein System in kleinere unabhängige Teilsysteme aufzutrennen, Die mathematische Beschreibung wird dabei zunächst für jedes Teilsystem durchgeführt, wobei die Teilsysteme isoliert betrachtet werden, Die Beschreibung der Dynamik führt dabei auf Differentialgleichungssysteme, In einem zweiten Schritt werden dann Wechselwirkungen der Systeme untereinander berücksichtigt Da Wechselwirkungen oder Kopplungen der einzelnen Modelle untereinander bestehen, müssen diese auch im mathematischen Modell vorhanden sein. Für eine solche Form der Systembeschreibung werden deshalb noch zusätzlich algebraische Gleichungen benötigt, die die Kopplungen berücksichtigen. Die gesamte Beschreibung führt demnach auf ein differential-algebraisches mathematisches Modell (DAE - Differential Algebraic Equation), das auch als Deskriptorsystem bezeichnet wird. In den Differentialgleichungen werden die Zustandsgrößen als verallgemeinerte Zustandsgrößen bezeichnet Damit die Beschreibung der Kopplungen unter den Teilsystemen mit Hilfe algebraischer Gleichungen möglich wird, sind zusätzliche Variablen notwendig. Das sind die Deskriptorvariablen, die den algebraischen Gleichungen zugeordnet sind. Um regelungstechnische Verfahren auf Deskriptorsysteme anwenden zu können, ist die Kenntnis der Zustands- und Deskriptorvariablen notwendig. Diese können im allgemeinen nicht vollständig durch Meßung bestimmt werden. Daraus resultiert die Motivation, diese Variablen mit Hilfe einer entsprechenden Beobachterstruktur zu schätzen. Bei einer Beobachterstruktur für ein System, das als minimales Modell vorliegt, besteht die Aufgabe des Entwurfs in der Stabilisierung der Fehlerdynamik. Ist die Fehlerdynamik asymptotisch stabil, so liefert der Beobachter Schätzwerte, die nach einem Einschwingvorgang den Zustandsgrößen des Systems entsprechen. Sollen hingegen Beobachterstrukturen für Deskriptorsysteme entworfen werden, dann beschränkt sich der Entwurf nicht nur auf die Stabilisierung der Fehlerdynamik. Die Erfüllung der algebraischen Gleichungen bewirkt zusätzlich eine Einschränkung in den Bewegungsmöglichkeiten der Zustandsgrößen. Deshalb kann die Stabilisierung der Fehlerdynamik bei Deskriptorsystemen nur unter Berücksichtigung der algebraischen Gleichungen erfolgen. Ein Beobachter für ein Deskriptorsystem muß zusätzlich zu den Zustandsgrößen der Differentialgleichung noch die Deskriptorvariablen schätzten. In der Einschwingphase schätzt ein Beobachter aufgrund unterschiedlicher Anfangsbedingungen zwischen dem realen Prozeß und dem Beobachtermodell fehlerhalte Werte. Das hat zur Folge, daß auch die algebraischen Gleichungen nicht erfüllt werden. Anstelle von Null ergibt sich ein von Null verschiedener Wert für jede algebraische Gleichung, der dann einem Fehler der Schätzwerte entspricht. Ein Beobachter muß eine asymptotisch stabile Fehlerdynamik besitzen, was ein konvergieren der Zustandsgrößen des Modells gegen die Zustandsgrößen des Prozesses bewirkt. Weiter ist ein konvergierendes Verhalten des Fehlers der algebraischen Gleichungen gegen Null gefordert, was zusätzlich einem konvergieren der Deskriptorvariablen des Modells gegen die Deskriptorvariablen des Prozesses entspricht. Die vorgestellten Beobachterstrukturen bieten die Möglichkeit, Beobachter für lineare und nichtlineare Deskriptorsysteme zu entwerfen. Die Strukturen basieren auf der Theorie über Beobachter für lineare Systeme im Zustandsraum und der exakten Linearisierung auf der Basis differential-geometrischer Methoden. Die Theorie zum Beobachterentwurf linearer Systeme im Zustandsraum wird zunächst auf lineare Deskriptorsysteme erweitert. Im Anschluß folgt eine Modifizierung des Verfahrens, um auch nichtlineare Deskriptorsysteme beobachten zu können. Aus dem Deskriptorsystem entsteht dabei ein nichtlineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem, von dem ein Teillinearisiert wird. Die Linearisierung erfolgt durch eine nichtlineare Zustandstransformation mit einer transformierten Eingangsgröße. Für das so entstandene lineare System wird dann ein Beobachter angegeben, der alle Zustands- und Deskriptorvariablen liefert. Der Beobachtungsfehler in den transformierten Koordinaten, wird dabei durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben.