Unimodale und positiv definite Dichten

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In Theorie und Praxis spielen eingipflige (unimodale) Dichten eine be­ deutende Rolle. Sie sind aber im deutschen Sprachbereich kaum behan­ delt worden. Noch viel weniger untersucht wurden bisher positiv defini­ te Dichten, das sind Dichten, die zu reellen charakteristischen Funktio­ nen proportional sind. Auch sie werden vielfach bei der Modellierung zufalliger Erscheinungen genutzt. Wegen der Symmetrie ist eine positiv definite Dichte p durch ihre Werte auf [0, 00) vollstandig charakterisiert. Deshalb ist es sinnvoll, neben p auch die (Realteil-) Dichte + ._ { 0 fur x < 0 p (x).- 2p(x) fur x ~ 0 zu betrachten und damit zwei Vorteile zu gewinnen: . Man kann die Theorie der charakteristischen Funktionen nichtne­ gativer ZufallsgroBen anwenden, in der es orginelle Resultate mit nutzlichen Anwendungen gibt . . Man erfaBt zugleich eine groBe Klasse von Dichten, die auf [0, 00) konzentriert sind und die selbstandiges Interesse besitzen. Das Ziel der Autoren ist es, diese Gebiete zu einer einheitlichen Theorie zusammenzufugen und zu zeigen, daB sie viele interessante Anwendungen gestattet. Einen Uberblick daruber gibt Kapitel O. Die Theorie ist weitgehend neu und bietet viele Moglichkeiten zum weiteren Ausbau. Das Buch richtet sich sowohl an Studenten als auch an Kollegen. Wir erwarten yom Leser nur, daB er eine EinfUhrungsvorlesung fUr Wahr­ scheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik besucht hat. vi Wir haben allen Kapiteln eine Anzahl von Aufgaben beigefiigt. Viele von ihnen erganzen den dargestellten Stoff. Wir empfehlen daher allen Lesern, sich damit auseinanderzusetzen.